能量估计

说明

为了方便,以下只考虑 a=1 的情况. a1 时可令 u(x,t)=v(ax,t)

能量

引入:紧支解的一个守恒量

utta2Δu=0,得 ut(uttΔu)=0 .而

ut(uttΔu)=ututtutΔu=12t(ut2)i=1nutuii=utiui=i(utui)iutui12t(ut2)i=1n(i(utux)iutui)=12(ut2)ti=1n((utui)iuiuit)=12(ut2)ti=1n((utui)i12(ui2)t)=12(ut2)t+12(|u|2)t(utu)=t(12(ut2)+12|u|2)(utu).

u 及其任意导数在无穷远处为 0 ——函数及其导数是紧支的,则对两边积分得

0=tRn(12(ut2)+12|u|2)dxRn(utu)dx=tRn(12(ut2)+12|u|2)dxRn(utu)dS=0tRn(12(ut2)+12|u|2)dx.
变形策略纲要

  • 转化的目标是:我们尝试作某种估计,得到方程的一些信息.
  • 转化的思路是:为了做这种估计,我们希望化为尽量少的信息,一种想法是尝试对方程降阶.
  • 降阶的手法是:通过化出散度项,这样对其在紧支上积分时,由散度定理可知其可转化为在边界上的积分,从而化为 0,简化表达式.
  • 采用的手段是:对 Laplace 项,乘上一个微分项,再用分部积分的微分形式(反用乘法法则)转化.
  • 一个重要的公式是:uxuxy=12(ux)y2

这说明

E(t)=Rn(12(ut2)+12|u|2)dx.

是一个关于时间不变的守恒量.

能量函数

定义

e(t)=12(ut2)+12|u|2

能量密度

E(t)=Rne(t)dx=Rn(12(ut2)+12|u|2)dx

能量函数

估计的重要引理:Gronwall 不等式

定义在 [a,b] 上的非负连续函数 u(t)v(t),若满足

u(t)A+atu(s)v(s)ds,

u(t)Aeatv(s)ds.

第一类边值条件的能量估计

考察方程

{Lu=f(x,t),0tTu(x,0)=φ, ut(x,0)=ψ,u(x,t)|Ω=0

方程两边同乘 ut,得

t(12(ut2)+12|u|2)=(utu)+utf

Ω 上积分:

tΩ(12(ut2)+12|u|2)dx=Ωutfdx12Ω(ut)2dx+12Ω|f(x,t)|2dxΩ(12(ut2)+12|u|2)dx+12Ω|f(x,t)|2dx.

E(t)E(t)+12Ω|f(x,t)|2dx

从而

ddt(etE(t))12etΩ|f(x,t)|2dx.

两边积分得

etE(t)E(0)120tetΩ|f(x,t)|2dx

E(t)etE(0)+120tetsdsΩ|f(x,s)|2dxtTCT(E(0)+120TΩ|f(x,t)|2dxdt).

E(0)=12Ω(|ψ|2+|φ|2)dx 为已知的有界量.综上,我们导出了能量不等式

能量不等式

uC1(R¯n×(0,+))C2(Rn+1×(0,+)) 是初值问题在 Ω 上的解,则其能量函数

E(t)=12Ω(ut2+|u|2)dx

满足如下的能量不等式

E(t)CT(12Ω(|ψ|2+|φ|2)dx+120TΩ|f(x,t)|2dxdt).

解的 L2 估计

E0(t)=Ω|u(x,t)|2dx

由能量不等式可以对其进行估计.两边对 t 求导得

E0(t)=2ΩuutdxΩu2dx+Ωut2dx=E0(t)+Ωut2dx.

Gronwall不等式u(t)=E(t)v(t)=1):

E0(t)CT(E0(0)+0TΩ|ut|2dxdt)|uT|2CT(E0(0)+CT(1)CT(2)(E(0)+120TΩ|f(x,t)|2dxdt))CT(E0(0)+E(0)+0TΩ|f(x,t)|2dxdt).

我们得到解的 L2 估计0tT 时,

Ω|u(x,t)|2dxCT(Ωφ(x)2dx+12Ω(|ψ|2+|φ|2)dx+120TΩ|f(x,t)|2dxdt).

能量估计的应用

波方程古典解的唯一性

对同一个波方程,若其有二解 u1,u2,则 u=u1u2,则 u 满足方程

{Lu=0u|t=0=ut|t=0=0u|Ω=0

其能量不等式为

12Ω(ut2+|u|2)dx0

ut=|u|=0u 为常数.再由 L2 估计

Ω|u|2dx0

故该方程只有零解,这就说明了初边值问题波方程古典解的唯一性.