为了方便,以下只考虑 的情况. 时可令 .
能量
引入:紧支解的一个守恒量
由 ,得 .而
若 及其任意导数在无穷远处为 ——函数及其导数是紧支的,则对两边积分得
散度定理无穷远处为
- 转化的目标是:我们尝试作某种估计,得到方程的一些信息.
- 转化的思路是:为了做这种估计,我们希望化为尽量少的信息,一种想法是尝试对方程降阶.
- 降阶的手法是:通过化出散度项,这样对其在紧支上积分时,由散度定理可知其可转化为在边界上的积分,从而化为 ,简化表达式.
- 采用的手段是:对 Laplace 项,乘上一个微分项,再用分部积分的微分形式(反用乘法法则)转化.
- 一个重要的公式是: .
这说明
是一个关于时间不变的守恒量.
能量函数
定义
为能量密度;
为能量函数.
估计的重要引理:Gronwall 不等式
定义在 上的非负连续函数 、,若满足
则
第一类边值条件的能量估计
考察方程
方程两边同乘 ,得
在 上积分:
即
从而
两边积分得
即
而 为已知的有界量.综上,我们导出了能量不等式:
能量不等式
设 是初值问题在 上的解,则其能量函数
满足如下的能量不等式:
令
由能量不等式可以对其进行估计.两边对 求导得
由 Gronwall不等式 (,):
放成能量常数全部吃掉我们得到解的 估计: 时,
能量估计的应用
波方程古典解的唯一性
对同一个波方程,若其有二解 ,则 ,则 满足方程
其能量不等式为
故 , 为常数.再由 估计
故该方程只有零解,这就说明了初边值问题波方程古典解的唯一性.